Boule - Math'φsics

Boule

Formulaire de report
Problème d'affichage Contenu de la note peu pertinent

Définition

Boule ouverte
Définition :
Soit \((X,d)\) un espace métrique, soit \(x\in X\) et soit \(r\in{\Bbb R}^*_+\)
On appelle boule ouverte de centre \(x\) et de rayon \(r\) l'ensemble $${{B(x,r)}}={{\{y\in X\mid d(x,y)\lt r\} }}$$

Boule fermée
Définition :
Soit \((X,d)\) un espace métrique, soit \(x\in X\) et soit \(r\in{\Bbb R}^*_+\)
On appelle boule fermée de centre \(x\) et de rayon \(r\) l'ensemble $${{B_f(x,r)=\overline{B}(x,r)}}={{\{y\in X\mid d(x,y)\leqslant r\} }}$$
(Métrique - Distance)

Notation

Boule ouvert
On note \(B(x_0,r)\) une boule ouverte

Boule fermée
On note \(\overline B(x_0,r)\) une boule fermée

Propriétés

Type d'ensemble
Une boule est un ensemble convexe et symétrique par rapport à son centre
(Ensemble convexe, Ensemble symétrique)

Liens avec les ouverts
Une boule ouverte est un ouvert
Un ouvert de \((X,d)\) est une union quelconque de boules ouvertes
(Ouvert, Union - Réunion)

Liens avec les fermés
Dans un espace métrique \((X,d)\), toute boule fermée est un fermé
(Espace métrique, Fermé)

Exercices

Boule ouverte

Consigne: Montrer qu'une boule ouverte est un ensemble ouvert
(en utilisant \(\varepsilon\))

Poser une norme et un ensemble
Soit \(\lVert\;\rVert\) une norme sur \({\Bbb R}^n\)
Soit \(x_0\in{\Bbb R}^n,r\gt 0\)
Montrons que $$B=B(x_0,r)=\{y\in{\Bbb R}^n\mid\lVert x_0-y\rVert\lt r\}$$ est un ouvert

Soit \(x\in B\). On doit trouver \(\varepsilon\gt 0\) tel que \(B(x,\varepsilon)\subset B\)
On choisit \(\varepsilon=r-\lVert x-x_0\rVert\)
Comme \(x\in B\), \(\lVert x-x_0\rVert\lt r\) et donc \(\varepsilon\gt 0\)

Soit \(y\in B(x,\varepsilon)\)
$$\lVert y-x_0\rVert\leqslant\lVert y-x\rVert+\lVert x-x_0\rVert\lt \varepsilon+\lVert x-x_0\rVert=r$$

Donc \(y\in B\) et \(B(x,\varepsilon)\subset B\)
Ainsi \(B\) est un ouvert

Consigne: Montrer qu'une boule ouverte est un ensemble ouvert
(par le complémentaire)

Définition du complémentaire
Montrons que $$B^C=\{y\in{\Bbb R}^n\mid\lVert y-x_0\rVert\geqslant r\}$$ est un fermé

Soit \((y_n)_n\subset B^C\) une suite qui converge vers \(y_*\in{\Bbb R}^n\)
Montrons que \(y_*\in B^C\)
$$\forall k\in{\Bbb N},\quad\lVert y_k-x_0\rVert\geqslant r$$

Donc, par continuité de la norme, on a : $$\lim_{k\to+\infty}\lVert y_k-x_0\rVert=\lVert y_*-x_0\rVert$$
On en déduit que \(\lVert y_*-x_0\rVert\geqslant r\) (car les inégalités se conservent lors du passage à la limite)
Donc \(y_*\in B^C\), donc \(B^C\) est fermé et \(B\) est ouvert

(Norme (Continuité))

Boule fermée

Consigne: Montrer qu'une boule fermée est un fermé
(par une suite)

Initialisation
Soit \(x_0\in{\Bbb R}^n,r\gt 0\). On montre que $$F=\overline B(x_0,r)=\{y\in{\Bbb R}^n\mid\lVert x_0-y\rVert\leqslant r\}$$ est un fermé
Soit \((y_k)_k\subset F\) qui converge vers \(y_*\in{\Bbb R}^n\). Montrons que \(y_*\in F\)

Montrer que la suite converge vers un élément de \(F\)

On a $$\forall k\in{\Bbb N},\quad\lVert x_0-y_k\rVert\leqslant r$$ et comme \(\displaystyle\lim_{k\to+\infty}\lVert x_0-y_k\rVert=\lVert x_0-y_*\rVert\), il vient $$\lVert x_0-y_*\rVert\leqslant r$$ donc \(y_*\in F\) donc \(F\) est un fermé

Consigne: Montrer qu'une boule fermée est un fermé
(par l'image d'une fonction continue)

Soit $$f:\begin{align}{\Bbb R}^n&\longrightarrow{\Bbb R}\\ y&\longmapsto\lVert y-x_0\rVert\end{align}$$
\(f\) est continue

On a $$F=f^{-1}([0,r])$$
Comme \([0,r]\) est fermé et comme \(f\) est continue, \(f^{-1}([0,r])\) est fermé donc \(F\) est fermé
Rétroliens :